Makalah: Deret dan Terapannya dalam Ekonomi

BAB I

PENDAHULUAN

A.  Latar Belakang

Matematika adalah salah satu ilmu dasar, yang semakin dirasakan retinteraksinya dengan bidang-bidang lainnya seperti Ekonomi dan Bisnis. Peran matematika dalam interaksi ini terletak pada struktur ilmu dan peralatan yang digunakan dalam berbagai bidang seperti indutri, asuransi, ekonomi, peralatan, dan banyak bidang sosial maupun teknik.

Oleh karena itu pembuatan makalah yang berjudul “Deret dan Terapannya dalam Ekonomi” ini dilatar belakangi untuk mempermudah proses belajar mengajar mata kuliah Matematika Ekonomi dan Bisnis.Prinsip deret banyak diterapkan untuk menelaah perilaku bisnis dan ekonomi, baik secara langsung maupun tidak langsung. Prinsip deret hitung banyak diterapkan dalam menganalisis perilaku perkembangan. Sedangkan prinsip deret ukur, bersama-sama dengan konsep logaritma, serta digunakan untuk menganalisis perilaku pertumbuhan.

B.  Rumusan Masalah

Berdasarkan Latar belakang permasalahan yang dipaparkan di atas, Rumusan masalah dalam makalah ini adalah.

1.      Apa yang dimaksud dengan Deret ?

2.      Bagaimana cara menghitung dan menentukan jumlah deret hitung?

3.      Bagaimana cara menghitung dan menentukan jumlah deret ukur ?

4.      Bagaimana Penerapan Deret dalam ekonomi dan bisnis ?

C.  Tujuan

Berdasarkan Rumusan Masalah yang telah dipaparkan diatas, Tujuan penulisan dalam makalah ini adalah.

1.      Mendeskripsikan Pengertian Deret.

2.      Memaparkan cara  menghitung dan menentukan jumlah deret hitung.

3.      Memaparkan cara menghitung dan menentukan jumlah deret ukur.

4.      Memaparkan bagaimana Penerapan deret dalam ekonomi dan bisnis.

BAB II

PEMBAHASAN

            Berdasarkan Masalah yang telah dirumuskan pada Bab I, Pembahasan masalah akan menyajikan tentang (1) Pengertian Deret (2) Cara menghitung dan Menentukan Deret Hitung (3) Cara menghitung dan menentukan Deret Hitung (4) Penerapan Deret dalam Ekonomi dan Bisnis.

A.  Pengertian Deret

Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret  dinamakan suku. Keteraturan rangkaian bilangan yang membentuk sebuah deret terlihat pada “pola perubahan” bilangan-bilangan tersebut dari satu suku ke suku berikutnya.

Dilihat dari jumlahnya suku yang membentuk, deret digolongkan atau deret terhingga dan takberhingga. Deret berhingga adalah deret yang jumlah suku-suku tertentu, sedangkan deret berhingga adalah deret yang jumlah suku-sukunya tidak terbatas. Sedangkan dilihat dari segi pola perubahan bilangan ada suku-sukunya, deret bisa dibeda-bedakan menjadi deret hitung, deret ukur dan deret harmoni.

Dalam Ilmu Ekonomi Deret Hitung dan Deret Ukur banyak digunakan dalam hal menghitung pertumbuhan penduduk dan pangan, mengukur biaya produksi dan pendapatan, serta menghitung bunga majemuk dalam dunia perbankan.

B.  Deret Hitung

Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamkan pembeda, yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua suku yang berturutan.

Contoh:

f          7, 12, 17, 22, 27, 32                                             (Pembeda = 5)

f          93, 83, 73, 63, 53, 43                                           (Pembeda = -10)

Dua hal yang penting untuk diketahui atau dihitung dalam setiap persoalan deret, baik deret hitung maupun deretukur, adalah besarnya nilai pada suatu suku tertentu dan jumlah nilai deret tersebut sampai dengan suku yang bersangkutan.

a.    Sukuke-n dari DH

Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah deret hitung dapat dihitung melalui sebuahr umus. Untuk membentuk rumus yang dimaksud, perhatikan Contoh 1) di atas. Dalam contoh tersebut, nilai suku pertamanya (a) adalah 7 dan pembedanya (b) adalah 5.

7,         12,       17,       22,       27,       32

S₁         S₂         S₃         S₄         S₅           S₆

           

Sn = a + (n-1)b

S₁ = 7 = a                                           

S₂ = 12 = a + b = a + (2-1)b

S₃  = 17 = a + 2b = a + (3-1)b                        a : suku pertama atau S₁

S₄ = 22 = a +3b = a + (4-1)b                         b : pembeda

S₅ = 27 = a + 4b = a + (5-1)b                                    n : indeks suku

S₆ = 32 = a + 5b = a + (6-1)b

Berdasarkan rumus diatas, dengan mudah dan cepat kita dapat menghubungkan nilai-nilai suku tertentu. Sebagai contoh, nilai suku ke-10 dan ke-23 dari deret hitung ini masing-masing adalah;

S₁₀ = a + (n-1)b = 7 + (10-1)5 = 7 + 45 = 52.

S₂₃ = a + (n-1)b = 7 + (23-1)5 = 7 +110 = 117.

b.      Jumlah n Suku

Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tak lain adalah jumlah nilai suku-sukunya, sejak suku pertama ( S_1, atau a ) sampai dengan suku ke-n ( S_n) yang bersangkutan.

Berdasarkan rumus S_n = a + ( n - 1 ) b Sebelumnya, maka masing S_i dapat diuraikan. Dengan mengurangi setiap S_i maka J₄, J₅ dan J₆ dalam ilustrasi diatas akan menjadi masing-masing sebagai berikut :

Masing-masing J_i  ini dapat pula ditulis ulang dalam bentuk sebagai berikut :

                     

         atau

Rumus  ini masih bisa disederhanakan lagi menjadi seperti berikut :

Sn

                       

    

Dengan demikian, untuk menghitung jumlah deret hitung sampai dengan suku tertentu n, terdapat empat bentuk rumus yang bisa digunakan, sebagai berikut :

	1.      2.      3.      4.

 

Untuk kasus deret hitung dalam contoh 1 diatas, jumlahnya sampai ke-10 adalah :

Sedangkan untuk kasus deret hitung dalam contoh 2, jumlahnya sampai dengan suku ke-10 adalah :

C.                DeretUkur

Deret ukur merupakan deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda, yakni merupakan hasil bagi antara nila suatu suku terhadap nilai suku di depannya.

Contoh :

1.      5, 10, 20, 40,80, 160                                 (pengganda = 2)

2.      512. 256, 128, 64, 32, 16                          (pengganda = 0,5)

a.      Sukuke-n dari DU

Untuk dapat membentuk rumus penghitungan suku tertentu dari sebuah deret ukur, perhatikan contoh 1 di atas disajikan dalam bentuk lain di bawah ini.

Sn = ap n-1

S₁   = 5    =  a

S₂   = 10   = ap                               = ap^2-1                                          

S₃   = 20   = app = ap²        = ap^3-1                               a : suku pertama

S₄   = 40   = appp = ap³      = ap^4-1                               b : pengganda

S₅   = 80   = apppp = ap⁴     = ap^5-1                              n : indeks suku

S₆   = 160  = appppp = ap⁵ = ap^6-1

            Berdasarkan rumus diatas, nilai suku ke-10 dari deret ukur dalam Contoh (1) dan Contoh (2) di atas masing-masing adalah

1)      S₁ = (5)(2)^10-1 = (5)(2)⁹ = (5)(512) = 2560

2)      S₁ = (512)(0,5)^10-1 = (512)(0,5)⁹ = (512)(1/512) = 1

b.      Jumlahn suku

            Seperti halnya dalam deret hitung, jumlah sebuah deret ukur sampai dengan suku tertentu adalah jumlah nilai suku-sukunya sejak suku pertama sampai dengan suku ke-n yang bersangkutan.

Berdasarkan,maka masing-masing dapat dijabarkan sehingga:           (1)

Jika persamaan (1) ini kita kali kam dengan bilangan pengganda, maka :

(2)

            Dengan mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1), diperoleh selisih antara dua persamaan ini yaitu :

Dari sini, kita dapat membentuk rumus jumlah deret ukur sampai dengan sukuk e-, yakni :

           

Dalamhal |, penggunaan rumus yang di sebelah kiri akan lebih mempermudah perhitungan. Di lain pihak,perhitungan akan menjadi lebih muda degan menggunakan rumus yang di sebelah kanan.

            Untukkasusderetukurdalamcontoh 1) di atas, di manadan , jumlahnya sampai dengan suku ke-10 adalah :

            Sedangkanuntukkasusdalamcontoh 2), dalamhalini dan, jumlah dari sepuluh suku pertamanya adalah :

            Sebagaimanaakandapatdijumpaidalambagianataubab-babselanjutnyadalambukuini, prinsip-prinsipderetbanyakditerapkanmenelaahperilakubisnisdanekonomi, baiksecaralangsungmaupunsecaratidaklangsung. Prinsipderethitungbanyakditerapkandalammenganalisisperilakuperkembangan. Sedangkanprinsipderetukur, bersama-samadengankonseplogaritma, seringdigunakanuntukmenganalisisperilakupertumbuhan.

D.  Penerapan Ekonomi

Di bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah  deret, baik deret hitung maupun deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan [enad (relevant) dietrapkan untuk menganalisisnya.

a.      Model Perkembangan Usaha

Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha misalnya produksi, baiaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variabel tersebut.

Berpola  seperti deret hitung maksudnya disini adalah bahwa variabel yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya.

Kasus 1

Perusahaan genteng “Sokajaya” menghasilkan 3.000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan penignkatan produktivitasnya, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa buah genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut?

a = 3.000                                 S₅ = 3.000 + (5-1) 500 = 5.000

b = 500                                    J₆ =  (3.000 + 5.000 = 20.000

n = 5

Jumlah produksi pada bulan kelima adalah 5.000 buah, sedangkan jumlah seluruh genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut 20.000 buah.

Kasus 2

            Besarnya penerimaan PT “Cemerlang” dari hasil penjualan barangnya 720 juta rupaiah pada tahun kelima dan 980 juta rupiah pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung, berapa perkembangan penerimaannya per tahun ? berapa besarnya penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar 460 juta rupiah ?

Dalam Jutaan: S₇ = 980 a + 6b = 980

S₅ = 720 a + 4b = 720

                                                               2b = 260      b  =130

Perkembangan penerimaan per tahun sebesar 130 juta rupiah.

            a + 4b = 720 a – 4b = 720 – 4 (130) = 200

Penerimaan pada tahun pertama sebesar 200 juta rupiah

      S_n = a + (n-1)b  460 = 200 + (n-1) 130

                                       460 =  200 + 130n – 130

                                       390 = 130n  n = 3

Penerimaan sebesar 460 juta rupiah diterima pada tahun ketiga.

b.      Model BungaMajemuk

Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus simpan pinjam dan kasus investasi. Dengan model ini dapat dihitung, misalnya, besarnya pengembalian kredit di masa datang berdasarkan tingkat bunganya. Atau sebaliknya, untuk mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima di masa datang.

Jika misalnya modal pokok sebesar P dihubungkan secara majemuk dengan suku bunga per tahun setingkat i, maka jumlah akumulatif modal tersebut di masa datang setelah n tahun (F_n) dapat dihitung sebagai berikut :

Setelah 1 tahun : F₁= P + P . i = P ( 1 + i)

Setelah 2 tahun : F₂ = P ( 1 + i) + P ( 1 + i) i = P ( 1 + i)²

Setelah 3 tahun : F₃ = P ( 1 + i)² + P ( 1 + i)² i = P ( 1 + i)³

            .                       .

            .                       .

            .                       .

Setelah n tahun : F_n = (.....) + (.....) i = P ( 1 + i)ⁿ

Dengan demikian,jumlah di masa datang dari suatu jumlah sekarang adalah :

Fn = P ( 1 + i )n

P          : jumlah sekarang

i           : tingkat bunga per tahun

n          : jumlah tahun

( Bandingkan rumus ini dengan rumus deret ukur S_n = ap ^n-1, keduanya identik. P atau F₀ di sini identik dengan a atau S1 dalam rumus deret ukur, (1 = i) identik dengan P dalam deret ukur. Ringkasnya, Fn di sini identik dengan S_n+

Rumus di atas mengandung anggapan tersirat bahwa bunga dapat diperhitungkan dibayarkan satu kali dalam setahun. Apabila bunga diperhitungkan dibayarkan lebih dari satu kali (misalnya m kali, masing-masing i/m per termin) dalam setahun, maka jumlah di masa datang menjadi :

Fn= P (1 + )mn

m         : frekuensi pembayaran bunga dalam setahun

Suku ( 1 + i ) dan ( 1 + )dalam dunia bisnis dinamakan “faktor bunga majemuk” ( compounding interest factor), yaitu suatu bilangan lebih besar dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah di masa datang dari suatu jumlah sekarang.

P  =

P  =

Dari rumus di atas. Dengan sedikit manipulasi matematis, dapat pula dihitung besarnya milai sekarang apabila yang diketahui jumlahnya di masa datang. Nilai sekarang (present value) dari suatu jumlah uang tertentu di masa datang adalah :

Suku 1/(1+i)” dan 1/(1+i/m)^mn dinamakan “faktor diskonto” (discount factor), yaitu suatu bilangan lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah di masa datang.

Kasus 3

            Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak Rp. 5.000.000 untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2% per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikannya pada saat pelunasan ? seandainya perhitungan pembayaran bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester,berapa jumlah yang harus di kembalikan ?

P = 5.000.000                                      F_n = P(1 + i)ⁿ

n = 3                                                    F₃ = 5.000.000 (1 + 0,02)³

i = 2% = 0,02                                                  =5.000.000 (1,061208) = 5.306.040

Jadi pada saat pelunasan, setelah tiga tahun, nasabah tadi secara keseluruhan harus mengembalikan sebanyak Rp. 5.306.040,00. Seandainya bunga diperhitungkan dibayarkan tiap semester, m = 2, maka :

F_n = P (1 = i/m)^mn                    F₃ = 5.000.000 (1 + 0,01)⁶

                                                     = 5.000.000 (1,06152) = 5.307.600,00

Jumlah yang harus dikembaliakn menjadi lebih besar, Rp. 5.307.600,00

Kasus 4

            Tabungan seorang mahasiswa akan menjadi sebesar Rp.532.400,00 tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10% per tahun, berapa tabungan mahasiswa tersebut pada saat sekarang ini ?

F = 532.400                                         P =

 n= 3                                                        = . 532.400 = 400.00

i = 10% = 0,1

Jadi, besarnya tabungan sekarang adalah Rp.400.000,00.

c.       Model PertumbuhanPenduduk

Penerapanderetukur yang paling konvensional di bidangekonomiadalahdalamhalpenaksiranjumlahpenduduk. Sebagaimanapernahdinyatakanoleh Malthus, pendudukduniatumbuhmengikutipoladeretukur.

Di mana                P₁ :  jumlah pada tahun pertama (basis)

                                                   :  jumlah pada tahun ke

                                                    :  presesntase pertumbuhan per tahun

                                                    :   indeks waktu (tahun)

Kasus 5

            Penduduksuatukotaberjumlah 1 jutajiwapadatahun 1991, tingkatpertumbuhannya 4 persen per tahun. Hitunglahjumlahpendudukkotatersebutpadatahun 2006 pertumbuhannyamenurunmenjadi 2,5%, berapajumlahnya 11 tahunkemudian?

                                         P tahun 2006/    =   1 juta (1,04)¹⁵

                                                                              =  1 juta (1,800943)

                                                                              = 1.800.943 Jiwa

 

                                              tahun kemudian

 r   = 0,025

R   = 1,025                              jiwa

Ataudenganmemanfaatkankaidah logaritma :

BAB III

PENUTUP

A.  Simpulan

Pada Bab II dipaparkan secara rinci penjelasan tentang (1) Pengertian Deret (2) Cara menghitung dan Menentukan Deret Hitung (3) Cara menghitung dan menentukan Deret Hitung (4) Penerapan Deret dalam Ekonomi dan Bisnis.

Berdasarkan pembahasan tersebut dapat dikemukakan simpulan sebagai berikut:

f      Deretadalahrangkaianbilangan yang tersusunsecarateraturdanmemenuhikaidah-kaidahtertentu.

f      Deret menurut jumlah sukunya, dibagi menjadi dua yaitu deret berhingga dan deret takberhingga.

f      Derethitungadalahderet yang perubahansuku-sukunyaberdasarkanpenjumlahanterhadapsebuahbilangantertentu.

f      Deretukurmerupakanderetyang perubahansuku-sukunyaberdasarkanperkalianterhadapsebuahbilangantertentu.

f      Deret dapat diterapkan dalam Penerapan ekonomi meliputi Model perkembangan Usaha, Model Bunga Majemuk, Model Pertumbuhan Majemuk.

B.  Saran