Jurnal: Matematika Ekonomi dan Bisnis

 

Sistem Bilangan dan Terapannya dalam Ekonomi

Saat belajar sendiri, saya menganggap bahwa sistem bilangan ini mudah. namun setelah belajar bersama di kelas ternyata banyak sekali yang belum saya ketahui. Dibawah ini beberapa hal yang baru saya ketahui:

§ 

Hasil dari penjumlahan diatas bukan hanya 5 namun tergantung basis yang diminta berapa. Seandainya yang diminta basis 2 maka hasilnya 0.

§  Bilangan dibagi menjadi 2 yaitu : bilangan Nyata dan bilangan Khayal.

§  Bilangan Nyata dibagi menjadi Irrasional dan Rasional

§  Bilangan rasional sendiri dibagi menjadi 2 yaitu : Bulat dan Pecahan

§  Bilangan rasional adalah semua bilangan bulat dan berakhir dengan nol. Contoh: 0,140

§  Bilangan irrasional adalah hasilbagi antara dua bilangan, berupa pecahan dengan desimal tak terbatas dan tak berulang.

§  Semua bilangan yang dibawah akar adalah bilangan khayal.

§  Nama lain dari bilangan khayal adalah bilangan imajiner.

§ 

imajiner

Kurva bilangan khayal dan nyata.

 

§ 

=

Jadi,  hasilnya bisa +2 atau -2

§  Hubungan perbandingan antar bilangan yaitu: < (lebih kecil dari), > (lebih besar dari),  (lebih kecil dari atau sama dengan), (lebih besar dari atau sama dengan).

§  Kaidah-kaidah Operasi-operasi bilangan nyata  yaitu: kaidah komutatif, kaidah asosiatif, kaidah pembatalan, kaidah distributif, unsur penyama, kebalikan.

§  Operasi bilangan pecahan yaitu: operasi pemadaman,operasi penjumlahan dan pengurangan, operasi perkalian, operasi pembagian.

Pangkat, Akar, Logaritma dan Terapannya dalam Ekonomi

Hal-hal yang baru saya ketahui mengenai pangkat, akar dan logaritma:

·      Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara beruntun.

·      Akar dari sebuah bilangan adalah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya.

·      Kaidah Pemangkatan Bilangan 

Contoh

·       =  = 2

·      Logaritma adalah kebalikan dari proses pemangkatan atau pengakaran.

·     

·      Kaidah Invers & Rantai

·      Adanya logaritma natural yang dinotasikan sebagai . Yang berbasis . Nilai

Deret dan Terapannya dalam Ekonomi

§  Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu.

§  Deret digolongkan atas deret berhingga dan takhingga.

§  Dari segi pola dapat digolongkan menjadi deret hitung, deret ukur, dan deret harmoni.

§  Deret Hitung adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu.

§  Mengapa notasi untuk mencari suku ke-n berbeda dari SMA?

Jawab: perbedaan simbol itu hanya kesepakatan semata. Jadi tidak ada yg perlu dipermasalahkan.

§   

§ 

§  Deret ukur merupakan deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu.

§  Rumus suku ke-n dari DU                         S_n = ap ^n-1

§  Rumus jumlah n suku                    

§  Rumus model bunga majemuk       F_n = P ( 1 + i )ⁿ

§  Rumus menghitung pertumbuhan penduduk

Fungsi dan Terapannya dalam Ekonomi

§  Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan anatar satu variabel dengan variabel lain.

§  Variabel adalah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan atau mewakili faktor tertentu, dilambangkan dengan huruf-huruf latin.

§  Koefisien adalah bilangan atau angka yang terkait dengan suatu variabel dalam sebuah fungsi.

§  Jenis-jenis fungsi ada 2 yaitu: fungsi Aljabar dan non Aljabar.

§  Fungsi aljabar dibagi menjadi 2 yaitu: fungsi rasional dan fungsi irrasional

§  Fungsi rasional dibagi menjadi 6 yaitu : pangkat, polinom, linear, kuadrat, kunik, bikuadrat.

§  Fungsi non aljabar dibagi menjadi 4 yaitu: f. Eksponensial, f. Logaritmik, f. Trigonometrik, f. Hiperbolik.

§  Dalam menggambarkan suatu fungsi terdapat kebiasaan meletakkan variabel bebas pada sumbu horizontal (absis) dan variabel terikat di sumbu vertikla (ordinat).

§  Cara menggambar jika

2 = konstanta                      3 = koefisien arah

 

§  Penggal kurva adalah titik-titik potong kurva tersebut pada sumbu koordinat.

§  Asimtot suatu kurva adalah sebuah garis lurus yang jaraknya semakin dan semakin dekat dengan salah satu ujung kurva tersebut.

Hubungan Linear

§  Fungsi linear adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu.

§  Cara pembentukan persamaan linear dengan 4 cara yaitu: cara dwi-koordinat, koordinat-lereng, penggal-lereng, dwi-penggal.

§  Rumus dwi-koordinat       

§  Rumus koordinat-lereng    

§  Rumus penggal-lereng       

§  Rumus dwi-penggal          

§  Hubungan dua garis lurus dalam sistem sepasang sumbu-silang yaitu: berhimpit, sejajar, berpotongan, dan tegak lurus.

§  Untuk menyelesaikan persamaan-persamaan linear dapat dilakukan melalui tiga macam cara: cara substitusi, cara eliminasi, dan cara determinan.

Penerapan Ekonomi Hubungan Linear

§  Fungsi permintaan menghubungkan natara variabel harga dengan variabel jumlah yang diminta.

§  Bentuk umum fungsi permintaan  

§  Hukum permintaan adalah “Apabila harga naik, maka jumlah yang diminta akan berkurang dan apabila harga turun maka jumlah yang diminta akan naik”

§  Kurva permintaan berlereng negatif karena gerakan harga berlawanan arah dengan gerakan jumlah.

§  Fungsi penawaran menghubungkan antara variabel harga dengan variabel jumlah yang diminta.

§  Bentuk umum fungsi penawaran

§  Hukum penawaran “ Apabila harga naik maka jumlah yang ditawarkan akan bertambah dan apabila harga turun jumlah yang ditawarkan akan berkurang”.

§  Kurva penawaran berslope positif karena gerakan harga searah dengan gerakan jumlah.

§  Keseimbangan pasar (Equilibrium) adalah apabila jumlah barang yang diminta dipasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan.

§ 

§  Pajak yang dikenakan atas penjualan suatu barang menyebabkan harga jual tersebut naik.

§  Subsidi yang diberikan atas penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi lebih rendah.

Penerapan Ekonomi Hubungan Linear

§  Keseimbangan pasar kasus dua macam barang, maka permintaan akan barang yang satu bukan saja dipengaruhi oleh harga barang itu sendiri, tetapi juga fungsi dari harga barang lainnya.  

§  Fungsi Biaya adalah keseluruhan biaya yang dikeluarkan perusahaan untuk operasi bisnisnya.

§  Fungsi penerimaan adalah fungsi dari jumlah barang yang terjual atau dihasilkan maka semakin besar pula penerimaannya.

§  Penerimaan total  adalah hasilkali jumlah barang yang terjual dengan harga per unit barang tersebut.

§  Konsep Pulang pokok adalah suatu konsep yang digunakan untuk menganalisis jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau terjual agar perusahaan tidak mengalami rugi.

§  Fungsi anggaran mencerminkan batas maksimum kemampuan seorang membeli dua macam berkenaan dengan jumlah dana yang tersedia dengan harga masing-masing masukan.   

§  Pendapatan nasional dialokasikan ke dua kategori penggunaan, yakni dikonsumsikan dan ditabung. 

§  Fungsi konsumsi menjelaskan hubungan antara konsumsi dengan pendapatan nasional.

§  Fungsi tabungan menjelaskan hubungan antara tabungan dan pendapatan nasional.

§  Angka pengganda ialah suatu bilangan yang menjelaskan tambahan pendapatan nasional sebagai akibat adanya perubahan pada variabel tertentu dalam perekonomian.

Penerapan Ekonomi Hubungan Linear

§  Pendapatan Disposabel adalah pendapatan nasional yang secara nyata, dapat dibelanjakan oleh masyarakat; tidak termasuk didalamnya pendapatan pemerintah seperti pajak, cukai dan sebagainya.

§  Pajak yang dikenakan pemerintah pada warganya ada dua macam. Pertama, pajak yang jumlahnya tidak dikaitkan dengan pendapatan. . Kedua pajak yang penetapannya dikaitkan dengan pendapatan . Secara keseluruhan adalah .

§  Permintaan akan investasi merupakan fungsi dari tingkat bunga.

§  Permintaan investasi berbanding terbalik dengan tingkat suku bunga.

§  Apabila tingkat suku bunga tinggi maka investasi akan turun, karena orang-orang lebih memilih menyimpan uangnya di bank.

§  Pertanyaan saya “mengapa variabel bebasnya (i) diletakkan pada sumbu vertikal dan variabel terikatnya (I) justru ditempatkan pada sumbu horizontal?”

Penerapan Ekonomi Hubungan Linear

§  Impor adalah membeli barang dari luar negeri.

§  Impor suatu negara merupakam fungsi dari pendapatn nasionalnya, dan cenderung berkorelasi positif.

§  M_o adalah besarnya import yang tidak dipengaruhi oleh pendapatan nasional

§  mY adalah besarnya import yang dipengaruhi oleh pendapatan nasional.

§  m ( marginal propensity) adalah batas/nilai yang muncul dalam suatu negara jika pendapatan nasional bertambah tidak untuk impor semua.

§  Pendapatan nasional adalah jumlah nilai seluruh keluaran yang dihasilkan oleh suatu negara dalam jangka waktu tertentu.

§  Tiga macam model perekonomian yaitu 2 sektor , model perekonomian 3 sektor , model perekonomian 4 sektor

Catatan : dalam perekonomian 4 sektor ada kemungkinan bernilai nol jika importnya lebih besar dan mengalahkan sektor lain.

§  Dalam ekonomi makro pasar dibedakan menjadi 3 yaitu: pasar barang, pasar uang (termasuk modal), dan pasar  tenaga kerja.

§  Kurva IS adalah kurva yang menunjukkan keseimbangan antara pendapatan nasional dan tingkat suku bunga di pasar barang.  

§  Kurva LM ialah kurva yang menunjukkan keseimbangan antara pendapatan nasional dan tingkat suku bunga di pasar uang. 

§  Keseimbangan serempak di pasar uang dan pasar barang ditunjukkan dengan berpotongannya kurva IS-LM

Hubungan Non Linear dan Terapannya dalam Ekonomi

§  Fungsi non-linear dibagi menjadi 4 macam yaitu: fungsi kuadrat parabolik, fungsi kubik, fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik.

§  Fungsi kuadart atau fungsi berderajat dua ialah fungsi yang pangkat tertinggi variabelnya adalah pangkat dua. ,

§  Identifikasi persamaan kuadrat memiliki rumus:

 

§  Fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang kaudratik dapat berupa potongan lingkaran, potongan elips, potongan hiperbola maupun potongan parabola. Cara menganalisanya sama halnya dengan yang fungsi linear yaitu :                                                        

§  Fungsi biaya, biaya rata-rata adalah biaya yang dikeluarkan untuk mengahasilkan tiap unit produk atau keluaran, merupakan hasilbagi biaya total terhadap jumlah keluaran yang dihasilkan

§  Biaya marginal adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk.

§  Fungsi penerimaan non-linear umumnya berbentuk sebuah persamaan parabola terbuka kebawah.

§  Penerimaan total adalah fungsi dari jumlah barang, juga merupakan hasilkali jumlah barang dengan harga per unit .

§  Penerimaan rata-rata adalah penerimaan yang diperoleh perunit barang merupakan hasil bagi penerimaan total terhadap jumlah barang .

§  Penerimaan marginal adalah penerimaan tambahan yang diperoleh dari setiap tambahan satu unit barang yg dihasilkan atau dijual. .

§  Besar kecilnya keuntungan dicerminkan oleh besar kecilnya selisih positif antara R da C.

§  Fungsi utilitas menjelaskan besarnya utilitas yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsikan suatu barang atau jasa.

§  Utilitas total adalah fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi.

§  Utilitas marginal adalah kepuasan tambahan yang diperoleh setiap tambahan satu unit barang yang dikonsumsi.

Hubungan non-Linear dan terapannya dalam Ekonomi

§  Elips adalah tempat keduudkan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap titik fokus selalu konstan.

§  Elips memiliki dua sumbu simetri yang saling tegak lurus; yang panjang disebut sumbu mayor; dan yang pendek disebut sumbu minor.

§  Fokus elips adalah sebarang titik yang terletak pada sumbu elips.

§  Bentuk umum persamaan elips  

§  Rumus elips 

§  Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan.

§  Hiperbola memiliki dua sumbu simetri yaitu yang saling tegak lurus dan sepasang asimtot.

§  Bentuk umum persamaan hiperbola :

§  Rumus baku hiperbola:

§  Parabola ialah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direktriks.

§  Bentuk umum persamaan parabola

§  Titik ekstrim parabola (i, j) adalah:

§  Pengetahuan baru tentang turunan y’

Contoh: 

      

      

      

(tergantung diturunkan ke variabel apa)

Limit dan Terapannya dalam Ekonomi

^©      Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang apabila variabel didalam fungsi yang bersangkutan terus-menerus berkembang mendekati suatu nilai tertentu.

^©      Hubungan dilambangkan dengan notasi

^©      Limit sisi-kiri dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang membesar dari sisi-kiri, melalui nilai-nilai .

^©      Limit sisi-kanan dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang mengecil dari sisi-kiri, melalui nilai-nilai .

^©      Limir sebuah fungsi dikatakan ada jika dan hanya jika limit sisi-kiri dan limit sisi-kanannya ada serta sama.

^©      Limit bisa digunakan untuk menggambarkan batas ideal tertentu (maksimum atau minimum) yang dapat atau harus dipenuhi, dalam kondisi yang juga ideal.

^©      Kaidah-kaidah limit ada 8 macam.

^©      Bentuk-bentuk tak tentu pada limit yaitu: bentuk tak tentu 0/0, bentuk tak tentu , dan bentuk tak tentu  

^©      Fungsi dikatakan sinambung apabila gambar berupa sebuah kurva yang tidak terputus. Namun, jika fungsi terpaksa harus mengangkat titik tertentu, maka fungsi yang bersangkutan dikatakan asinmabung atau terputus.

^©      Limit Semu adalah Nilai limit yang bernilai tak hingga atau tak ada.

^©      Limit suatu fungsi  kontinu disekitar  maka disebut kontinu.

^©      Jika  tidak kontinu di disebut diskontinu di .

^©      Pendekatan Teorema l’Hopital digunakan untuk menyelesaiakan bentuk-bentuk tak tentu.

Elastisitas dan Analisis Keuntungan Maksimum

©    Elastisitas  dari suatu fungsi didefinisikan

©    Elastisitas permintaan adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga.

©    Elastisitas penawaran adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan dengan adanya perubahan harga.

©    Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan yang digunakan.

©    Analisi keuntungan maksimum bisa disidik dengan pendekatan diferensial. Karena baik penerimaan total (R) dan biaya total (C) sama-sama merupakan fungsi dari jumlah keluaran yang dihasilkan.  atau .

©    Kenapa MR=MC sama dengan nol? Karena, untuk membuat garis persis lurus.

Penerimaan pajak maksimum-Hubungan produk marginal dengan rata-rata

©    Penerimaan barang ditunjukkan ole persamaan  dan sesudah pajak

©    Pajak total yang diterima oleh pemerintah adalah besarnya pajak per unit dikalikan jumlah barang yang terjual di pasar sesudah pengenaan pajak tersebut.

©    Produk marginal sama dengan produk rata-rata pada saat produk rata-rata mencapai posisi ekstrimnya (posisi maksimum).

©    Pada posisi AP maksimum;

©   

à berasal dari penelitian lapangan

Cara menemukan fungsi

x	1	0	2
y	3	-	4

Lalu dicari menggunakan rumus SPSS yaitu

JJSelesaiJJ